Почему надо в обычный паспортный стол.
Нужна прописка. Прописка нужна для поликлиника, для очереди в садик. Для снилса. Нужно. И гражданство. А оно после прописки.
И нужно быстро. А сидеть с детьми в это время некому. Вот и получается.
Даже если есть кому, иногда приходится брать с собой, потому что прописка делается, когда дети очень-очень маленькие, их кормить часто нужно, а для этого мама нужна, если дети не искусственники. Если родители ребенка в разных местах прописаны, оба они должны присутствовать: один приносит документы на квартиру, другой пишет согласие на прописку своего ребенка у супруга/супруги.
По поводу "оставить младенца дома": врачи - и педиатры в поликлинике, и приходящие на патронаж медсестры, и ведущие занятия в школе молодых родителей - категорически запрещают это делать, даже если ребенок маленький и спит. Многие этот запрет нарушают, и ничего ужасного я в этом не вижу, но ставить таких родителей в пример - "вот она молодец, своего ребенка дома оставила, а ты, дура, зачем-то сюда притащила" - мне как-то, мягко скажем, странновато. С каких это пор безответственные раздолбаи у нас молодцами стали?